Prova da infinitude dos primos usando Topologia

No meu último post eu prometi que ia escrever sobre a prova da infinitude dos números primos usando Topologia. Hoje estou aqui para cumprir minha promessa.

O fato de que existem infinitos números primos é algo bastante conhecido. Os gregos já sabiam disso, o que reforça a tese de que eles manjavam das putarias. Quando Euclides provou este fato, não havia dúvidas de que estava correto. Tínhamos uma demonstração, e é o que bastava. Do ponto de vista do rigor matemático, qualquer outra demonstração diferente desta, embora válida, é totalmente supérflua. Mas isso tudo é balela. O fato é que os matemáticos são criaturas estranhas o suficiente para gostar de ficar procurando provas alternativas de resultados conhecidos. E isso é o que é importante.

Fora Euclides, vários matemáticos conhecidos se orgulham de terem sua própria demonstração da infinitude dos primos. Entre eles podemos citar Leonhard Euler, Christian Goldbach e Paul Erdös. Mas uma demonstração em particular chama a atenção por ser um tanto, como podemos dizer, curiosa. Trata-se da demonstração do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A prova foi publicada em 1951 no periódico American Mathematical Monthly e é bem simples na verdade. Ou talvez, simples para os matemáticos.Veja o artigo aqui.

Hillel Fürstenberg: o cara manja das putarias

Aviso Importante: A partir de agora começa a matemática de respeito. Se você tem aversão a qualquer tipo de argumento matemático, é melhor parar aqui, especialmente se você não conhece o Teorema da Bola Cabeluda.

Para cada $a,b \in \mathbb{Z}$ considere o conjunto

$$ N_{a,b} = \{a + bn; n \in \mathbb{Z} \}$$

Isto é, $ N_{a,b}$ é uma progressão geométrica infinita de razão $b$ e termo inicial $a$. Eles constituirão uma base para a nossa topologia. Isto é, um conjunto $A \subset \mathbb{Z}$ será dito um aberto se $A$ for vazio ou se para cada $a \in A$ existir um $b > 0$ tal que $ N_{a,b} \subset A$.

É claro que união de abertos é aberto. Por outro lado, se $A_1, A_2$ são abertos (segundo nossa definição), então dado $a \in A_1 \cap A_2$, existem $b_1, b_2 > 0 $ tais que $ N_{a,b_i} \subset A_i$ para $i = 1,2$. Daí, é fácil ver que $ N_{a,b_1b_2} \subset A_1 \cap A_2$. Ou seja, intersecção finita de abertos é um aberto. Portanto isso de fato constitui uma topologia para $\mathbb{Z}$.

Convém observar que todo aberto não vazio é infinito. Isso é claro da definição.

Outra observação um pouco menos clara é que todo aberto também é um fechado. Mas para ver isso, basta se convencer que

$$ N_{a,b} = \mathbb{Z}- \bigcup _{i = 1} ^{b-1} N_{a+i, b}$$

Deixaremos ao leitor o prazer de verificar esta igualdade no conforto e privacidade do seu quarto.

Assim, $N_{a,b}$ é fechado, pois é complementar de união finita de abertos.

Você pode estar se perguntando: o que isso tem a ver com a infinitude dos números primos? Até agora nada, mas agora eles entram em cena. Sabemos que todo número inteiro $n \neq \pm 1$ possui um divisor primo $p$, logo pertence a $N_{0,p}$. Seja $\mathcal{P}$ o conjunto dos números primos. Então segue que

$$ \mathbb{Z}- \{1,-1\} = \bigcup_{p \in \mathcal{P}} N_{0,p}$$

Se $\mathcal{P}$ fosse finito, então

$$\bigcup_{p \in \mathcal{P}} N_{0,p}$$

Seria união finita de fechados, e portanto seria um fechado. Mas então {1,-1} seria aberto não vazio e finito, contradição! Portanto, $\mathcal{P}$ é infinito.

Pois é, esse Fürstenberg também manja das putarias.

Por hoje é só. Até a próxima.