Avanços na conjectura dos primos gêmeos

Hoje tenho uma notícia para postar aqui. Sobre Matemática. Mais especificamente sobre Teoria dos Números. Mas, antes de qualquer coisa, alguns preliminares.

Todo mundo deve saber o que é um número primo, que são aqueles números que possuem apenas dois divisores: a unidade e ele mesmo. É bem conhecida a lista dos primeiros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, .... Os gregos, que naquela época já manjavam das putarias, sabiam que existem infinitos números primos. Existem várias demonstrações disso (inclusive uma usando Topologia!), mas não faremos nenhuma aqui, pelo menos não hoje. Prometo que um dia posto aqui a prova por Topologia.

Uma das coisas fascinantes em Teoria dos Números que existem muitos problemas na área de uma beleza e simplicidade únicas, mas cuja demonstração pode ser extremamente difícil – ou mesmo nem ter sido descoberta ainda. É ainda há tantos problemas abertos famosos em Teoria dos Números. A Conjectura de Goldbach, por exemplo. Ou – que é o tema desse texto – a Conjectura dos Primos Gêmeos.

Primeiro: o que são primos gêmeos? Primos gêmeos são números primos que distam 2 um do outro, ou seja, a diferença do maior pro menor é 2. Exemplos de pares de primos gêmeos: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, etc... Coisas interessantes podem ser ditas sobre pares de primos gêmeos. Por exemplo, excetuando o par 3 e 5, entre dois primos gêmeos sempre há um múltiplo de 6. Pode-se checar isso olhando para a pequena lista acima, mas a prova é bem simples, na verdade. Só digo uma coisa: é só usar o fato que todo primo maior que 3 deixa resto 1 ou 5 na divisão por 6.

Outra questão que naturalmente surge é se existem infinitos pares de primos gêmeos. Sabe-se, por exemplo, que existem pares bem grandes de primos gêmeos, tipo $2^{195000} \pm 1$. Mas aí saber se realmente existem infinitos pares, isso é outra história. Euclides acreditavam que sim. Mas até hoje ninguém consegui ainda provar ou não esse fato, que ficou conhecido como a conjectura dos primos gêmeos. Embora ainda continue um problema em aberto, alguns avanços foram feitos.

Em 2005, o matemático americano Daniel Goldston em colaboração com dois dos seus estudantes, János Pintz e Cem Yıldırım trabalhou no problema. Eles provaram o seguinte:

$$ \lim_{n\to\infty}\inf\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}=0$$

onde $p_{n}$ denota o n-ésimo número primo.

Na prática, eles provaram que existem números primos que estão perto um do outro. Também provaram que existem infinitos pares de números primos que diferem um do outro de no máximo 16. O problema é que para provar esse fato, eles assumiram a veracidade de outro problema em aberto, a conjectura de Elliott-Halberstam. A estimativa é até boa, mas assumir outra conjectura não é tão legal assim. Você pode conferir o artigo deles aqui.

Até que recentemente um matemático da Universidade de New Hampshire chamado  Yitang Zhang. O que ele provou foi que existem infinitos pares de primos que distam um do outro de no máximo 70 milhões. Isso não parece avanço nenhum comparado com o resultado de Goldston, mas o ponto é que Zhang provou seu resultado sem apelar para nenhum resultado não provado.

Yitang Zhang. Tinha que ser um asiático!

Você pode até dizer que isso não é grande coisa, afinal, de 2 para 70 milhões há uma grande distância. Mas considere apenas que essa distância é infinitamente menor que a distância de 70 milhões para infinito. É exatamente esse o grande ponto. Os resultados de Zhang e de Goldston que existe um limitante finito para os saltos na sequência dos primos.

Zhang apresentou seu trabalho no último dia 13 para uma pequena audiência na Universidade de Harvard. Ao que parece, a comunidade matemática ainda está um pouco receosa, pois Zhang usou técnicas relativamente simples. Ele submeteu um artigo no Annals of Mathematics. O jeito é esperar para ver no que vai dar. Quem viver verá. Ou provará a conjectura.