No dia treze deste mês eu postei uma besteira aqui neste blog. E ficou registrado. Eis o crime:
“Só para constar, hoje é sexta-feira treze. Particularmente, não tenho nada contra o treze, mas prefiro o sete, apesar de os dois serem dois números primos que não são soma de dois quadrados. Neste quesito, o cinco é melhor.”
O que eu disse foi um absurdo que faria Fermat remexer no seu túmulo. Eu poderia ter simplesmente apagado este trecho, mas o que está feito está feito. Em vez disso, vou aproveitar a deixa e falar um pouco sobre isso.
Para quem ainda não percebeu, eu explico. Acontece que treze é, de fato, soma de dois quadrados, pois 13 = 9 + 4 = 3² + 2². Afora isto, o resto está correto, pois 5 = 2² + 1² e já o 7 não podem ser escrito como soma de quadrados. Esse fato você pode checar no braço, testando todas as possibilidades.
Mais impressionante é o fato que é possível saber com absoluta certeza que o primo 7901 pode ser escrito como soma de quadrados, ao passo que o primo 7919 jamais poderá ser escrito como soma de quadrados. Isso sem fazer nenhuma conta. Como isso é possível? Adivinhação? Inspiração divina? Palpite infalível? Não. Simplesmente matemática.
Vamos aos fatos. Com um argumento bem simples de Teoria dos Números, prova-se em duas ou três linhas que nenhum primo que deixa resto 3 quando dividido por 4 pode ser soma de dois quadrados. Eu poderia delinear a prova deste fato aqui, mas vou poupá-lo, caro leitor, desta parte um pouco mais técnica (embora não seja tão complicado). O leitor interessado pode pesquisar isso na internet.
Mais difícil é provar todo número primo que deixa resto 1 quando dividido por 4 é (com certeza absoluta) soma de dois quadrados. Todos, sem exceção. Assim, 5, 13, 17 e 29 são soma de quadrados (o leitor mais curioso pode tentar Expressá-los como soma de quadrados). Esse é um fato não trivial de Teoria dos Números e eu não conheço nenhuma prova com menos de uma página. De fato, só vi duas em toda a minha vida. A primeira eu não me lembro (mas usa métodos “elementares” de Teoria dos Números) e a segunda usa alguns resultados sobre fatoração no anel dos inteiros de Gauss. Sentiu o drama, né?
Teoria dos Números é uma área fascinante da Matemática. E uma das mais antigas também. Ela remonta aos antigos gregos. Foi por causa dela que resolvi seguir na área de Álgebra (Teoria dos Números é uma subárea da Álgebra). Na verdade, não faz muito sentido dizer isso, já que eu estudo Geometria Algébrica, mas enfim, no começo eu queria estudar Teoria dos Números.
A beleza da Teoria dos Números está no fato que os matemáticos estudam este assunto a milhares de anos e ainda hoje existem problemas em abertos e mesmo os que já foram resolvidos são de uma beleza impressionante (que só um matemático consegue apreciar). E melhor, muito destes problemas podem ser enunciados de uma maneira que qualquer um possa entender. Entretanto as demonstrações podem ser absolutamente não triviais. É o caso, por exemplo, do famoso Último Teorema de Fermat. Outro exemplo que gosto muito é a Conjectura de Goldbach.
Mas estes são assuntos para outros posts. Até lá então
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