Estou fazendo um (pequeno, porém significativo) esforço para escrever mais aqui. Este ano quero postar mais que postei ano passado. Que isso fique registrado, caso eu consiga (mas caso contrário, esqueça completamente que escrevi isso).
Sobre o que escreverei hoje? Apenas alguns pensamentos que passaram rapidamente pela minha cabeça enquanto descansava depois do almoço (que por sinal, não estava bom hoje). Foram algumas considerações que fiz sobre alguns fatos matemáticos que por um acaso conheço. Se você não conhece estes fatos, não se preocupe, apenas finja que entendeu o que vou escrever logo em seguida (ou então pare de ler aqui mesmo, mas se eu fosse você continuaria só por curiosidade).
Muito bem, os dois fatos matemáticos que por acaso sei são:
Fato 1: O conjunto dos números racionais tem medida zero dentro do conjunto dos números reais.
Fato 2: conjunto dos números racionais é denso dentro do conjunto dos números reais.
Não espero que você realmente tenha entendido isto. Quer dizer, noções como medida de conjuntos e conjuntos densos não são coisas que se aprende por aí, numa conversa de bar ou na parada do ônibus. Pelo menos não se você é uma pessoa normal. Por isso vou tentar explicar.
O fato 1 diz que, na prática, o conjunto dos números racionais é muito muito muito pequeno se for comparado com o conjunto de todos os números reais. Uma merreca. Quase nada. Desprezível. Uma gota no oceano seria mais que os racionais dentro dos reais. Só pra deixar as coisas ainda mais claras, saiba que a medida dos racionais é infinita. Quer dizer, o que é uma medida infinita contra uma medida zero, não é mesmo?
Isso pode parecer meio contra-senso, mas muita coisa em matemática realmente desafia o senso comum (eu já estou acostumado com isso). Mas de fato, se você parar para pensar, como pode os racionais medir zero se eles estão em todo canto? Quer dizer, ser você imaginar os números reais da maneira usual, qual seja, uma reta orientada com uma origem, não é difícil se convencer intuitivamente que qualquer pedacinho desta reta contém um número racional (tente isso, é um bom exercício mental).
Em outras palavras, perto de qualquer número real sempre existe um número racional. E isso é exatamente o que significa os racionais serem densos nos reais: eles estão em toda parte.
É claro (ou não?) que eu já sabia disso. O que eu nunca tinha feito até hoje depois do almoço era juntado as duas coisas. E concluir que isso simplesmente não faz sentido. Como pode um conjunto de medida nula ser denso? A dúvida penetrou em minha consciência abalada pelo sono natural depois das refeições por alguns segundos. Por uma fração de segundo acreditei que alguma coisa estava errada. Parecia uma daquelas dúvidas existenciais metafísicas que ocupam nossas mentes inquietas desde os tempos imemoriais.
Mais isso durou pouco. De repente, não mais que de repente, percebi que isso não passava de mais uma daquelas coisas de matemática que ferem o senso comum. Muita gente acha que nenhuma parte da matemática faz nenhum sentido, mas isso obviamente é discurso da oposição. O fato é que existem algumas coisas que são estranhas para os não matemáticos, mas isso é por que estas pessoas são meros mortais que não compreendem a essência do universo. Nós também não, mas pelo menos não nos assustamos com essas coisas estranhas.
Só para constar, hoje é sexta-feira treze. Particularmente, não tenho nada contra o treze, mas prefiro o sete, apesar de os dois serem dois números primos que não são soma de dois quadrados. Neste quesito, o cinco é melhor.
Ah, sim, se não for pedir muito, vote na enquete ao lado. E até outro dia.
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