Outras pessoas, além de mim, também perderam seu tempo refletiram um pouco sobre o infinito. Veja o que escreveu o filósofo inglês Tomas Hobbes:
“Seja o que for que imaginemos, é finito. Portanto não existe qualquer idéia ou concepção de algo que denominamos infinito. (...) Quando dizemos que alguma coisa é infinita queremos dizer que não somos capazes de conceber os limites e fronteiras da coisa designada, não tendo concepção da coisa, mas de nossa própria incapacidade.”
De fato, acho Hobbes não tinha a menor idéia que seja o infinito, por isso disse que ninguém sabia. Realmente ele não chegou a conhecer aquele que pôs fim ao enigma e definiu com precisão matemática o que é o infinito: o matemático russo-alemão Georg Cantor.
Antes de prosseguirmos, um aviso. Se você tem algo interesse em matemática, talvez queira ir adiante. Se, porém, você tem alergia à argumentos matemáticos talvez também queira ir adiante, mas não me responsabilizo pela sua integridade mental. De fato, acredito que todo ser humano deve ter interesse por matemática, o que não significa que qualquer pessoa irá gostar do que vai ler em seguida.
Muito bem, então o que é o infinito? Talvez a melhor formulação para essa pergunta seja: o que é um conjunto infinito? Procuramos uma resposta baseando-nos no que sabemos sobre conjuntos finitos. Pensemos dessa maneira: que propriedade os conjuntos infinitos têm que os finitos não têm?
Por muito tempo os matemáticos tentavam entender os conjuntos infinitos, mas não conseguiam. Havia algo que os intrigava. Considere, por exemplo, o conjunto dos números naturais N = {1, 2, 3, ...}. Pense agora no conjunto dos números pares P = {2, 4, 6, ...}. É claro que P está contido em N, mas P não é igual a N (existem os números ímpares). Dizemos que P é subconjunto próprio de N.
Ora, mas todo número par é da forma 2n, com n natural. Logo, para cada número par 2n está associado um único número natural n e vice-versa. Dizemos que existe uma correspondência de 1 para 1 entre esses conjuntos. Intuitivamente, é como se esses conjuntos tivessem a mesma quantidade de elementos. Em resumo: existem tantos números pares quanto números naturais, embora a intuição diga que os primeiros são em menor quantidade.
Isso intrigava os matemáticos, pois o mesmo não ocorre com conjuntos finitos. Isto é, um conjunto finito não pode estar em correspondência de 1 para 1 com um subconjunto próprio. Os teóricos, portanto, não conseguiam entender essa patologia dos conjuntos infinitos.
Daí, veio Cantor e matou a charada: se isso ocorre com todo conjunto infinito, então essa propriedade não é uma patologia e sim uma propriedade que caracteriza os conjuntos infinitos. Isto é, os conjuntos infinitos são justamente aqueles que satisfazem a referida propriedade. Em resumo, Cantor definiu:
“Um conjunto é infinito quando ele esta em correspondência de 1 para 1 com algum subconjunto próprio”.
Simples assim. Bem, pode parecer contra-intuitivo (de fato é), mas é a melhor coisa que temos. Cantor desenvolveu toda uma teoria de conjuntos infinitos (provou, inclusive, que dado qualquer infinito existe um infinito maior ainda, e, portanto existem infinitos infinitos). Também fez muitas outras coisas importantes e ajudou a criar a matemática moderna (que já tem mais de 100 anos).
Infelizmente Cantor terminou seus dias numa clinica psiquiátrica, praticamente esquecido. A comunidade matemática demorou a aceitar suas idéias revolucionárias, mas (para o bem de todos) elas foram aceitas e hoje são essenciais dentro da matemática. Como disse David Hilbert, ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós. |
| Cantor: ele criou o paraíso para nós matemáticos |
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