Pensando sobre o infinito (parte 1)

Você sabe o que é um googol? “É claro”, diria você, “é o site de buscas que eu utilizo”. Na verdade, não. Não estou falando do site Google. O googol que estou falando é um número. Sim, isto mesmo, um número. Ele vale 10^100 ou 1 seguido de 100 zeros. Grande, não é verdade?

Ele foi criado (melhor seria batizado) por um sobrinho de um matemático cujo nome não me recordo agora (e estou com preguiça de olhar no Google, hehehe). Aliás, o site Google teve seu nome inspirado neste número. Se o googol já é de tirar o fôlego, imagine só o googolplex que é 1 seguido de google zeros. Isso é um monstro que nem mesmo poderia ser escrito de tantos algarismos que possui.

Googleplex, a sede do Google

Números grandes impressionam, pois estão além de nossas referências diárias e ordinárias. São coisas como o número de átomos no universo, o número estrelas neste mesmo universo, o número de grãos de areia numa praia qualquer, etc. Estão além da imaginação. São números muito, muito grandes. Tão grandes que tendemos a dizer que são infinitos...

Sim, vai dizer que nunca aprendeu isso na escola? Não sei quanto a vocês, mas na minha época como estudante do primário havia um péssimo hábito no ensino da matemática (o ensino da matemática é fudido como um todo, mas quero destacar apenas um tópico). Quando estamos em nossos primeiros anos de estudos uma das coisas que primeiro temos contato na matemática são os conjuntos. Daí aprendemos que os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Os conjuntos finitos são aqueles em que podemos contar seus elementos. Os infinitos são aqueles em que não podemos. Simples assim.

Daí, depois das definições, os exemplos. E então aprendemos que o conjunto das estrelas do céu e o conjunto dos grãos de areia da praia são infinitos. Mas ei, nós podemos contar o número de estrelas do céu e o número de grão de areia da praia. É trabalho e demorado, mas possível. Podemos pelo menos estimar isso (Arquimedes que o diga). Em resumo: o número de estrelas (visíveis) no céu e o número de grãos de areia da praia são finitos. Então porque nos ensinam que são infinitos?

A questão aqui é que provavelmente as pessoas confundem os conceitos de infinito e muito grande. Uma coisa é uma grandeza ser muito grande. Outra, completamente diferente, é esta grandeza ser infinita. Ser infinita implica que não podemos mesurá-la, não dá pra medir seu tamanho. Por maior que seja um número, ele não é o infinito. O googolplex não está mais próximo do infinito que o número 1.

Isso não quer dizer que não podemos contar os elementos de um conjunto infinito, pelo menos num certo sentido. Por exemplo, é bem aceitável que podemos contar os números naturais, afinal esses são os números que usamos para contagem. Mas também é óbvio que o conjunto dos números naturais é infinito. Então o que há de errado com essa definição de conjuntos infinitos?

O problema é que a pesar de estar de acordo com o senso comum ela não é matematicamente precisa. Desenvolver uma teoria dos conjuntos (e em especial conjuntos infinitos) com um formalismo matemático bem preciso foi um dos maiores feitos na história da matemática. Mas isso é assunto para outro post.