Pensando sobre o infinito parte 2: O Hotel de Hilbert

Esta semana comecei a falar sobre o infinito. Sim, o infinito que sempre encantou os homens e desafiou a imaginação daqueles que gostam de imaginar.  Se você parar para pensar, temos muitas idéias sobre o infinito (algumas delas erradas, como já comentei). O tempo é infinito(?). Duas retas paralelas se encontram no infinito. O conjunto dos números naturais é infinito.

Tudo isso é verdade (ou não?). Bem depende do que você entende por infinito. A maioria das pessoas tem idéias e concepções relativas ao infinito, mas poucas (se é que existem) são capazes de responder à pergunta mais simples sobre esse assunto: o que é o infinito? Você pode tentar algumas definições tais como “é algo que não tem fim” ou “é algo ilimitado”. Nenhuma delas, porém, é matematicamente satisfatória.

De fato, é difícil lidar com o conceito de infinito porque o infinito tem propriedades que a maioria das pessoas acharia, no mínimo, estranhas. Na verdade, o que vou descrever logo mais pode soar como um paradoxo, mas eu não estou nem aí. Já estou acostumado às pessoas dizerem que a matemática é estranha e incompreensível, mas não custa nada tentar entender.

Na tentativa de tentar explicar o infinito, o grande matemático alemão David Hilbert depois de cheirar um pó pensar um pouco imaginou a seguinte situação hipotética, conhecida como Hotel de Hilbert. Numa interpretação livre foi mais ou menos assim:

Imagine um hotel com um número infinito de quartos os quais, por causa da alta estação, estão todos ocupados. Daí, chega um novo hóspede e pede um quarto. A recepcionista diz que infelizmente não há nenhum disponível. Após o hóspede armar o maior barraco e botar muito boneco, o gerente David Hilbert chega para resolver a situação.

Ele ordena que o hóspede do quarto 1 vá para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 vá para o quarto 3, o do quarto 3 vá para o quarto 4 e assim por diante (ad infinitum). Isso é possível, pois são infinitos quartos. Então o novo hóspede estressado vai para o quarto 1. E todos os infinitos quartos continuam ocupados.

Resumo da ópera: infinito + 1 = infinito.

No dia seguinte, outro problema, desta vez infinitamente pior. Chega ao hotel um ônibus infinito com infinitos passageiros que vieram para um congresso. E todos eles queriam se hospedar no Hotel de Hilbert. O problema parecia sem solução, mas novamente Hilbert resolveu-o sagazmente.

Ele pediu para que o hóspede do quarto 1 fosse para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 fosse para o quarto 4, o hóspede do quarto 3 fosse para o quarto 6 e assim por diante. Em geral, o hóspede vai para o quarto cujo número é o dobro do seu. Daí, Hilbert pediu que os passageiros do ônibus ocupassem os (infinitos) quartos desocupados.

Ou seja: infinito + infinito = infinito.

Hotel de Hilbert: aqui tem espaço pra todo mundo.

 

Estranho, não? Sim, mas pode ficar pior. Com argumentos semelhantes, pode-se provar que é possível acomodar nos quartos infinitos passageiros que chegaram em infinitos ônibus.

É assim mesmo. Coisas relacionadas ao infinito não são cotidianas, mas aparecem o tempo todo na matemática e na física. E é porque ainda nem sabemos o que é o infinito. Isso é assunto para outro post.