Pensando sobre o infinito parte 3: o paraíso de Cantor

Outras pessoas, além de mim, também perderam seu tempo refletiram um pouco sobre o infinito. Veja o que escreveu o filósofo inglês Tomas Hobbes:

“Seja o que for que imaginemos, é finito. Portanto não existe qualquer idéia ou concepção de algo que denominamos infinito. (...) Quando dizemos que alguma coisa é infinita queremos dizer que não somos capazes de conceber os limites e fronteiras da coisa designada, não tendo concepção da coisa, mas de nossa própria incapacidade.”

De fato, acho Hobbes não tinha a menor idéia que seja o infinito, por isso disse que ninguém sabia. Realmente ele não chegou a conhecer aquele que pôs fim ao enigma e definiu com precisão matemática o que é o infinito: o matemático russo-alemão Georg Cantor.

Antes de prosseguirmos, um aviso. Se você tem algo interesse em matemática, talvez queira ir adiante. Se, porém, você tem alergia à argumentos matemáticos talvez também queira ir adiante, mas não me responsabilizo pela sua integridade mental. De fato, acredito que todo ser humano deve ter interesse por matemática, o que não significa que qualquer pessoa irá gostar do que vai ler em seguida.

Muito bem, então o que é o infinito? Talvez a melhor formulação para essa pergunta seja: o que é um conjunto infinito? Procuramos uma resposta baseando-nos no que sabemos sobre conjuntos finitos. Pensemos dessa maneira: que propriedade os conjuntos infinitos têm que os finitos não têm?

Por muito tempo os matemáticos tentavam entender os conjuntos infinitos, mas não conseguiam. Havia algo que os intrigava. Considere, por exemplo, o conjunto dos números naturais N = {1, 2, 3, ...}. Pense agora no conjunto dos números pares P = {2, 4, 6, ...}. É claro que P está contido em N, mas P não é igual a N (existem os números ímpares). Dizemos que P é subconjunto próprio de N.

Ora, mas todo número par é da forma 2n, com n natural. Logo, para cada número par 2n está associado um único número natural n e vice-versa. Dizemos que existe uma correspondência de 1 para 1 entre esses conjuntos. Intuitivamente, é como se esses conjuntos tivessem a mesma quantidade de elementos. Em resumo: existem tantos números pares quanto números naturais, embora a intuição diga que os primeiros são em menor quantidade.

Isso intrigava os matemáticos, pois o mesmo não ocorre com conjuntos finitos. Isto é, um conjunto finito não pode estar em correspondência de 1 para 1 com um subconjunto próprio. Os teóricos, portanto, não conseguiam entender essa patologia dos conjuntos infinitos.

Daí, veio Cantor e matou a charada: se isso ocorre com todo conjunto infinito, então essa propriedade não é uma patologia e sim uma propriedade que caracteriza os conjuntos infinitos. Isto é, os conjuntos infinitos são justamente aqueles que satisfazem a referida propriedade. Em resumo, Cantor definiu:

“Um conjunto é infinito quando ele esta em correspondência de 1 para 1 com algum subconjunto próprio”.

Simples assim. Bem, pode parecer contra-intuitivo (de fato é), mas é a melhor coisa que temos. Cantor desenvolveu toda uma teoria de conjuntos infinitos (provou, inclusive, que dado qualquer infinito existe um infinito maior ainda, e, portanto existem infinitos infinitos). Também fez muitas outras coisas importantes e ajudou a criar a matemática moderna (que já tem mais de 100 anos).

Infelizmente Cantor terminou seus dias numa clinica psiquiátrica, praticamente esquecido. A comunidade matemática demorou a aceitar suas idéias revolucionárias, mas (para o bem de todos) elas foram aceitas e hoje são essenciais dentro da matemática. Como disse David Hilbert, ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós.

Cantor: ele criou o paraíso para nós matemáticos

Pensando sobre o infinito parte 2: O Hotel de Hilbert

Esta semana comecei a falar sobre o infinito. Sim, o infinito que sempre encantou os homens e desafiou a imaginação daqueles que gostam de imaginar.  Se você parar para pensar, temos muitas idéias sobre o infinito (algumas delas erradas, como já comentei). O tempo é infinito(?). Duas retas paralelas se encontram no infinito. O conjunto dos números naturais é infinito.

Tudo isso é verdade (ou não?). Bem depende do que você entende por infinito. A maioria das pessoas tem idéias e concepções relativas ao infinito, mas poucas (se é que existem) são capazes de responder à pergunta mais simples sobre esse assunto: o que é o infinito? Você pode tentar algumas definições tais como “é algo que não tem fim” ou “é algo ilimitado”. Nenhuma delas, porém, é matematicamente satisfatória.

De fato, é difícil lidar com o conceito de infinito porque o infinito tem propriedades que a maioria das pessoas acharia, no mínimo, estranhas. Na verdade, o que vou descrever logo mais pode soar como um paradoxo, mas eu não estou nem aí. Já estou acostumado às pessoas dizerem que a matemática é estranha e incompreensível, mas não custa nada tentar entender.

Na tentativa de tentar explicar o infinito, o grande matemático alemão David Hilbert depois de cheirar um pó pensar um pouco imaginou a seguinte situação hipotética, conhecida como Hotel de Hilbert. Numa interpretação livre foi mais ou menos assim:

Imagine um hotel com um número infinito de quartos os quais, por causa da alta estação, estão todos ocupados. Daí, chega um novo hóspede e pede um quarto. A recepcionista diz que infelizmente não há nenhum disponível. Após o hóspede armar o maior barraco e botar muito boneco, o gerente David Hilbert chega para resolver a situação.

Ele ordena que o hóspede do quarto 1 vá para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 vá para o quarto 3, o do quarto 3 vá para o quarto 4 e assim por diante (ad infinitum). Isso é possível, pois são infinitos quartos. Então o novo hóspede estressado vai para o quarto 1. E todos os infinitos quartos continuam ocupados.

Resumo da ópera: infinito + 1 = infinito.

No dia seguinte, outro problema, desta vez infinitamente pior. Chega ao hotel um ônibus infinito com infinitos passageiros que vieram para um congresso. E todos eles queriam se hospedar no Hotel de Hilbert. O problema parecia sem solução, mas novamente Hilbert resolveu-o sagazmente.

Ele pediu para que o hóspede do quarto 1 fosse para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 fosse para o quarto 4, o hóspede do quarto 3 fosse para o quarto 6 e assim por diante. Em geral, o hóspede vai para o quarto cujo número é o dobro do seu. Daí, Hilbert pediu que os passageiros do ônibus ocupassem os (infinitos) quartos desocupados.

Ou seja: infinito + infinito = infinito.

Hotel de Hilbert: aqui tem espaço pra todo mundo.

 

Estranho, não? Sim, mas pode ficar pior. Com argumentos semelhantes, pode-se provar que é possível acomodar nos quartos infinitos passageiros que chegaram em infinitos ônibus.

É assim mesmo. Coisas relacionadas ao infinito não são cotidianas, mas aparecem o tempo todo na matemática e na física. E é porque ainda nem sabemos o que é o infinito. Isso é assunto para outro post.

Pensando sobre o infinito (parte 1)

Você sabe o que é um googol? “É claro”, diria você, “é o site de buscas que eu utilizo”. Na verdade, não. Não estou falando do site Google. O googol que estou falando é um número. Sim, isto mesmo, um número. Ele vale 10^100 ou 1 seguido de 100 zeros. Grande, não é verdade?

Ele foi criado (melhor seria batizado) por um sobrinho de um matemático cujo nome não me recordo agora (e estou com preguiça de olhar no Google, hehehe). Aliás, o site Google teve seu nome inspirado neste número. Se o googol já é de tirar o fôlego, imagine só o googolplex que é 1 seguido de google zeros. Isso é um monstro que nem mesmo poderia ser escrito de tantos algarismos que possui.

Googleplex, a sede do Google

Números grandes impressionam, pois estão além de nossas referências diárias e ordinárias. São coisas como o número de átomos no universo, o número estrelas neste mesmo universo, o número de grãos de areia numa praia qualquer, etc. Estão além da imaginação. São números muito, muito grandes. Tão grandes que tendemos a dizer que são infinitos...

Sim, vai dizer que nunca aprendeu isso na escola? Não sei quanto a vocês, mas na minha época como estudante do primário havia um péssimo hábito no ensino da matemática (o ensino da matemática é fudido como um todo, mas quero destacar apenas um tópico). Quando estamos em nossos primeiros anos de estudos uma das coisas que primeiro temos contato na matemática são os conjuntos. Daí aprendemos que os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Os conjuntos finitos são aqueles em que podemos contar seus elementos. Os infinitos são aqueles em que não podemos. Simples assim.

Daí, depois das definições, os exemplos. E então aprendemos que o conjunto das estrelas do céu e o conjunto dos grãos de areia da praia são infinitos. Mas ei, nós podemos contar o número de estrelas do céu e o número de grão de areia da praia. É trabalho e demorado, mas possível. Podemos pelo menos estimar isso (Arquimedes que o diga). Em resumo: o número de estrelas (visíveis) no céu e o número de grãos de areia da praia são finitos. Então porque nos ensinam que são infinitos?

A questão aqui é que provavelmente as pessoas confundem os conceitos de infinito e muito grande. Uma coisa é uma grandeza ser muito grande. Outra, completamente diferente, é esta grandeza ser infinita. Ser infinita implica que não podemos mesurá-la, não dá pra medir seu tamanho. Por maior que seja um número, ele não é o infinito. O googolplex não está mais próximo do infinito que o número 1.

Isso não quer dizer que não podemos contar os elementos de um conjunto infinito, pelo menos num certo sentido. Por exemplo, é bem aceitável que podemos contar os números naturais, afinal esses são os números que usamos para contagem. Mas também é óbvio que o conjunto dos números naturais é infinito. Então o que há de errado com essa definição de conjuntos infinitos?

O problema é que a pesar de estar de acordo com o senso comum ela não é matematicamente precisa. Desenvolver uma teoria dos conjuntos (e em especial conjuntos infinitos) com um formalismo matemático bem preciso foi um dos maiores feitos na história da matemática. Mas isso é assunto para outro post.

Apenas alguns instantes

Não faça nada, apenas leia este texto. Apenas relaxe. Deixe-meeu falar com você por alguns instantes. Para quê tanta pressa afinal? Para quê tanto stress. Já percebeu o quanto nossas vidas são corridas e estressantes? O quanto temos tanto a fazer em tão pouco tempo. Nunca parou para pensar nisso. Bem, pare agora e pense sobre isso.

Só por alguns instantes enquanto você lê isso. Não custa nada, só um pouquinho. Só por um instante pare e pense sobre sua vida. Reflita, como foi seu dia hoje? Como está sendo? Foi bom, ruim, você fez algo útil para a humanidade ou apenas algo bom para você mesmo? Que coisas proveitosas você pode tirar disso?

Já percebeu o quanto a vida é corrida? Ainda não? Está pensando direito? São muitos pensamento: “não posso me atrasar”, “tenho que entregar este relatório”, “tenho que estudar para a prova”, “essas contas estão atrasadas”, “essa internet ta muito lenta”. É viver não é fácil e nosso mundo moderno torna isso pouco prazeroso. Por isso, apenas leia e relaxe.

Pense. Sei que pode não ser fácil. Às vezes não temos tempo nem para pensar. Estamos tão acostumados com a rotina que fazemos nossas tarefas mecanicamente. Somos robôs programados pelo sistema para fazer o sistema funcionar. Mas esqueça seu lado máquina e olhe seu lado humano. Sim, pois você também é um ser humano, embora talvez tenha esquecido. Mais que isso, você deveria ter apenas esse lado. Mas os tempos modernos não permitem. Tente apenas então por alguns instantes. Estes instantes.

Calma, sei que deve estar achando esse texto grande. Mas eu não escrevi nem mesmo uma página! Eu compreendo, é o sistema. Você tem mais coisas para fazer, por que ficar sentado lendo este texto? Mas tente, vá até o final. Respire fundo. V á  c o m  c a l m a, s e m  p r e s s a. A vida é bela, o mundo é belo.

Nunca reparou nisso? Sim claro, não tem tempo. Não tem tempo para apreciar as pequenas coisas da vida, momentos únicos, singulares, às vezes um sorriso, uma paisagem bonita, um gesto singelo, uma palavra amiga. São coisas pequenas, mas não temos tempo para coisas pequenas... Então pare e pense: as coisas que damos importância são realmente importantes ou simplesmente damos importância sem questionar?

Tenho que terminar esse texto senão corro o risco de alguém não o ler até o final. E então, você parou e pensou? Aposto que não doeu e não tomou tanto tempo assim. De vez em quando é bom parar e refletir sobre a vida, pois a vida é o que temos de mais importante.

Pare e reflita

P.S. Para aqueles que quiserem passar mais dois minutos refletindo sobre a vida.

Leis estranhas

Dizem que o Brasil é o país das leis, algumas totalmente inúteis ou que mais atrapalham que ajudam (a boa e velha burrocracia brasileira [sic]). Mas pelo mundo afora também existem completamente absurdas ou no mínimo engraçadas. Confira algumas abaixo e ria da estupidez humana:

Em Cali, na Colômbia a mulher só pode fazer sexo com seu marido e na sua primeira vez, a mãe deve estar presente assistindo ao ato.

Em Liverpool, Inglaterra é permitido que vendedoras façam topless para atrair clientes, mas apenas em lojas de peixes tropicais.

Na França é proibido batizar um porco com o nome Napoleão. Tampouco é permitido beijar no metrô.

Em Alberta na Finlândia, se você esteve preso e foi liberado, tem direito a pedir uma arma carregada e um cavalo para sair da cidade.

Em Chicago, EUA é proibido comer em um local que esteja pegando fogo.

Em Alabama é proibido jogar dominó aos domingos.

Em Columbia, Pensilvânia, é proibido dormir num congelador.

Em Menphis, Tennesee, é ilegal que uma mulher dirija um carro a não ser que tenha um homem correndo à frente dela agitando uma bandeira vermelha para avisar aos motoristas e transeuntes que se aproximam.

Em Pocataligo, Georgia, é ilegal que uma mulher de mas de 200 libras (aprox. 90 kg.) de short curto viaje ou pilote um avião.

Em Seattle, é proibida a entrada de monstros nos limites urbanos.

Na cidade de Natchez, no Missouri, uma lei proíbe os elefantes de tomar cerveja.

Em Michigan, é proibido amarrar um crocodilo num hidrante. Já em Baltimore, é ilegal levar um leão ao cinema.

No estado do Texas, quando dois trens chegarem juntos num cruzamento de vias, ambos devem parar completamente, e nenhum deve seguir adiante até que o outro tenha ido.

Uma lei estadual diz que o rio Arkansas (no estado do Arkansas, of course) não pode subir mais que a altura da ponte de Main Street de Little Rock.

No estado de Kentucky, EUA, nenhuma mulher deve aparecer em traje de banho em nenhum aeroporto de lá, a não ser que seja escoltada por dois policiais ou esteja armada com um cacetete. Ah sim, as disposições deste decreto não serão aplicadas a mulheres que pesem menos de 90 libras (aprox. 40kg.) ou mais de 200 libras (aprox. 90 kg.), nem serão aplicadas a éguas.

Em Tulsa, Oklahoma, só é permitido abrir uma garrafa de soda sob a supervisão de um engenheiro graduado. Também é ilegal que o dono de um bar permita que alguém finja ter sexo com um búfalo. Nesta mesma cidade, os cães devem ter uma permissão assinada pelo prefeito para reunir-se em grupos de três ou mais numa propriedade privada. Também é proibido pôr uma pessoa hipnotizada numa vitrine.

OMG, aonde este mundo vai parar!

A evolução da matemática

A matemática é uma ciência fascinante. Quanto mais você estuda, mais descobre que não sabe nada de matemática. E quanto mais descobre que não sabe nada, mais você quer aprender.

Por isso resolvi criar esta pequena imagem cômica. Acho que já é auto-explicativa, embora a piada exiga pré-requisitos: 

Simples: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa!