Qual é o melhor número?

Uma das (muitas) coisas que a Matemática estuda são os números. E na verdade, os números inteiros são um dos primeiros temas matemáticos que temos contato em nossas vidas. O estudo dos inteiros e suas propriedades constitui um belíssimo ramo da Matemática Pura: a Teoria dos Números.

O fato é que os inteiros possuem curiosas e inesperadas propriedades, que geralmente encantam quem as estuda. Eu poderia escrever páginas falando sobre isso, mas vou me limitar a dois singelos exemplos.

O primeiro é devido ao personagem Sheldon Cooper, da série “The Big Bang Theory”. No episódio “The alien parasite hypothesis” (4 temporada) Sheldon propõe a seus amigos a questão: “Qual é o melhor número?”. A resposta, segundo ele, seria 73. Vejamos por quê.

73 é o 21º número primo. Se lermos ao contrário, obtemos 37 que é o 12º número primo e 12 é o contrário de 21. Não é só isso, não. Observe que 21 é o produto de 7 por 3. Mais ainda, 73 em binário é um número palíndromo (isto é, lido de traz para frente é a mesma coisa): 1001001.

Como observou Leonard, 73 é o Chuck Norris dos números.

Apenas uma palavra: Bazinga!

É, pode até ser, mas na minha (modesta) opinião, o número mais interessante que existe é outro: o fabuloso 142857.

Eu explico. 142857 possui uma propriedade peculiar: o produto dele pelos números 2, 3, 4, 5, 6 tem como resultado uma permutação cíclica de seus algarismos. Veja só:

142857*2 = 285714

142857*3 = 428571

142857*4 = 571428

142857*5 = 714285

142857*6 = 857142

Isso tem a ver com o resultado 142857*7:

142857*7 = 999999

Isso quer dizer que 142857 é justamente o período da representação decimal periódica da fração 1/7:

1/7 = 0,142857142857142857...

Os próximos produtos não são permutações cíclicas de 142857, mas também se relacionam com ele:

142857*8 = 1142856

142857*9 = 1285713

Observe que os resultados obtidos são bem parecidos com permutações cíclicas dos algarismos de 142857, a menos de dois algarismos diferentes. Mas note que a soma dos algarismos extras dá exatamente o algarismo que falta permutação “correta”: 1+6 = 7, no primeiro caso e 1+3=4, no segundo.

Interessante, não? Só para constar, existem outros números com as mesmas propriedades de 142857. O próximo é 0588235294117647. Você pode verificar que possui propriedades semelhantes às de 142857. A existência de outros números com essa propriedade está ligada a uma conjectura da Teoria dos Números, a Conjectura de Artin.

Eu poderia falar mais, porém vou ficar por aqui. Terei outras oportunidades para falar da beleza dos números e da Matemática em geral.